Eine kurze Geschichte der Harmonie (Teil 2)
- Jens Bott
- vor 2 Tagen
- 11 Min. Lesezeit
Aktualisiert: vor 2 Stunden
Im ersten Teil haben wir gesehen, wie Pythagoras die mathematischen Zauberformeln unseres Harmonieverständnisses entdeckte, warum unser Gehirn solche Konsonanzen liebt und wie aus den mittelalterlichen Kirchentonarten schließlich die beiden grundlegenden Systeme der Dur- und Molltonleitern hervorgingen und wie diese auf jedem Halbtonschritt aufbauen können (Wer den ersten Teil noch nicht kennt, sollte ihn am besten zunächst noch einmal nachlesen).
In diesem zweiten Teil geht es um die Frage, wie aus Tonleitern und bestimmten physikalischen Schwingungsverhältnissen Harmonien und stimmige Geschichten wurden. Ihr erfahrt, auf welcher einfachen süchtig machenden Zauberformel praktisch die gesamte Pop- und Unterhaltungsmusik basiert, was es mit dem teuflischen Tritonus auf sich hat, und wie Johann Sebastian Bach mit seinem „wohltemperierten Clavier“ bewies, dass es erst einer genialen Schummelei bedurfte, um das Tor zum Universum unserer heutigen abendländischen Musik aufzutun.
Die Zauberformel der Harmonielehre
Zu Beginn der Neuzeit entsprachen die einstimmigen Choräle der mittelalterlichen Mönche nicht mehr den Anforderungen der Musiker und Komponisten. Man war auf der Suche nach harmonisch passenden Tönen, um die auf Tonleitern basierenden Melodien durch weitere Stimmen oder auch durch Instrumente begleiten zu können. Bei den Regeln, die sich hierfür empfahlen, kam man wieder auf den guten alten Pythagoras zurück. Das Grundprinzip ist denkbar einfach. Es beruht auf der Schichtung von zwei Terzen, also Abständen von jeweils drei Tönen zum Grundton.
Nimmt man als Grundton den Ton C, ergeben sich durch die Terzenschichtung die Folgetöne E und G. Der Zusammenklang von C-E-G, gleichzeitig oder direkt hintereinander gespielt, ergibt den C-Dur Dreiklang. Dass wir dieses Zusammenspiel dreier Töne mit diesen Abständen als harmonisch, vollkommen, stabil und beruhigend empfinden, ist weder Zufall noch kulturell anerzogenes Phänomen. Hier spielen Mathematik, Physik, Evolutionsbiologie und Psychologie auf einzigartige Art und Weise zusammen.
Um dies besser zu verstehen, müssen wir kurz in die Welt der Akustik eintauchen. Wenn wir auf einem beliebigen Instrument oder mit der Stimme einen Ton erzeugen, ist das in der Natur fast nie ein einzelner, reiner Ton. Schlagen wir auf dem Klavier das tiefe C an, hören wir nicht nur diese eine Frequenz; Die Saite schwingt gleichzeitig in kürzeren Teilstücken mit und erzeugt unhörbar leise so genannte Obertöne. Dabei ist der 1. Oberton die Oktave (C'), der 2. Oberton die Quinte (G' ), der 3. Oberton wieder eine Oktave (C'' ), der 4. Oberton die große Terz (E'') und der 5. Oberton schließlich wieder eine Quinte. (G'').
Die Töne des Dur-Dreiklangs (C-E-G) sind also allesamt in dem physikalischen Obertongemisch enthalten. Der Dur-Dreiklang ist für uns Menschen also etwas naturgegebenes, das wir als „richtig“ und angenehm wahrnehmen, weil wir dieses Klangmuster seit Jahrmillionen aus der Natur kennen.
Dies lässt sich anhand der von Pythagoras gefundenen Verhältnisse auch mathematisch demonstrieren: Der antike Philosoph hatte gezeigt, dass Intervalle umso harmonischer klingen, je einfacher das mathematische Frequenzverhältnis zwischen zwei Tönen ist:
Oktave (C zu C'): 1:2
Quinte (C zu G): 2:3
Quarte (C zu F): 3:4
Große Terz (C zu E): 4:5
Kleine Terz (E zu G): 5:6
Die drei Töne unseres C–E–G Akkords schwingen also im Verhältnis 4:5:6. Dies gilt grundsätzlich auch für Terzen-Akkorde, die auf einem beliebigen anderen der zwölf Grundtöne aufbauen.
Dahinter steckt ein interessantes hörpsychologisches Schema: Unser Gehirn ist eine hochleistungsfähige Mustererkennungsmaschine. Wenn zwei Schallwellen auf unser Trommelfell treffen, übersetzt das Innenohr diese in elektrische Impulse. Bei einfachen mathematischen Verhältnissen (wie 2:3) fallen die Wellenberge der Töne sehr häufig exakt zusammen. Die Schwingungen „stören“ sich nicht gegenseitig. Ein Muster, das unser Gehirn mühelos erkennt und mag, weil es dafür kaum Rechenleistung aufwenden muss. Die Evolution hat diese einfache Erkennens-Prämie in unserer Wahrnehmung mit einem Gefühl von Symmetrie, Ruhe und Ordnung belohnt, das in der Harmonielehre als Konsonanz bezeichnet wird.
Mathematisch weniger einfache Schwingungsverhältnisse, wie die kleine Sekunde, der Abstand zwischen zwei Halbtönen (256: 243), erzeugen Interferenzen, deren Frequenzen sich heftig reiben, eine Dissonanz, die unser Gehirn als Unruhe oder Gefahr wahrnimmt.
Vor diesem Hintergrund können wir nun auch den von Glarean gefundenen Dur-Moll-Dualismus betrachten. Untersuchen wir die Terzenschichtung des C-Dur Akkords genau, sehen wir, dass zuerst eine große Terz (C-E) und dann eine kleine Terz (E-G) folgt. Beim Moll-Dreiklang ist es genau umgekehrt.
Die große Terz beruht auf dem stabileren Fundament 4:5; wir nehmen sie daher als hell und solide wahr, weil sie exakt der natürlichen Obertonreihe entspricht. Der C-Moll-Dreiklang (C – Es – G) weicht davon etwas ab; das Verhältnis von 5:6 ist immer noch einfach und harmonisch, doch die kleine darin eingebaute Reibung empfinden wir als weicher oder auch melancholischer. Dieser kleine Exkurs in die Hörpsychologie zeigt, dass unser Gehirn einfache physikalische Ordnungsmuster liebt.
Intervall | Beispiel-Ton (ab C) | Halbtonschritte | Hörpsychologische Klassifikation | Pythagoreisches / Reines Schwingungsverhältnis |
Reine Prime | C – C | 0 | Vollkommene Konsonanz (Gleichklang, absolute Ruhe) | |
Kleine Sekunde | C – Db | 1 | Scharfe Dissonanz (Extrem enge, schnelle Reibung) | (Limma) / (rein) |
Große Sekunde | C – D | 2 | Milde Dissonanz (Spürbare Reibung, weich drängend) | (Ganzton) |
Kleine Terz | C – Eb | 3 | Unvollkommene Konsonanz (Weich, melancholisch) | (pythag.) / (rein) |
Große Terz | C – E | 4 | Unvollkommene Konsonanz (Hell, stabil, offen) | (pythag.) / (rein) |
Reine Quarte | C – F | 5 | Vollkommene Konsonanz (Inkl. schwebender Neigung zur Auflösung) | |
Tritonus (überm. Quarte / verm. Quinte) | C – F# / Gb | 6 | Scharfe / Instabile Dissonanz (Teufelsintervall, maximale Spannung) | (pythag.) / (rein) |
Reine Quinte | C – G | 7 | Vollkommene Konsonanz (Fundamentale Stabilität, Ur-Baustein) | |
Kleine Sexte | C – Ab | 8 | Unvollkommene Konsonanz (Dunkel, sehnsuchtsvoll) | (pythag.) / (rein) |
Große Sexte | C – A | 9 | Unvollkommene Konsonanz (Warm, edel, aufhellend) | (pythag.) / (rein) |
Kleine Septime | C – B | 10 | Milde Dissonanz (Bluesig, strebt nach Auflösung) | |
Große Septime | C – H | 11 | Scharfe Dissonanz (Extrem drängend, Reibung kurz vor der Oktave) | (pythag.) / (rein) |
Reine Oktave | C – C' | 12 | Vollkommene Konsonanz (Perfekte Verschmelzung, Verdopplung der Frequenz) |
1:2 |
Was wir als vollkommene, unvollkommene Konsonanz oder als milde beziehungsweise scharfe Dissonanzen wahrnehmen, hängt davon ab, inwieweit sich die Schallwellen in die Quere kommen.
Stufen- und Funktionstheorie
Damit haben wir die beiden elementaren Bausteine von Musik geklärt: Tonleitern bilden die Grundlage für die Komposition von Melodien; die aus Terzen und Quinten bestehenden Dreiklänge bilden die Harmonien, mit der sich die Melodie passend begleiten lässt. Grundsätzlich lässt sich für jeden Ton einer Tonleiter ein tonleitereigener Dreiklang bilden, also ein Dreiklang, der nur aus Tönen der betrachteten Tonleiter besteht.
Dies ist die Grundlage der so genannten Stufentheorie. Sie geht auf den deutschen Musiktheoretiker Jacob Gottfried Weber (1779–1839) zurück, der mit seinem Ansatz die Harmonik von Musikstücken beschreiben will. Wir sehen, dass die tonleitereigenen Dreiklänge sowohl Dur-Charakter (große römische Zahlen) als auch Moll-Charakter (kleine römische Zahlen) besitzen können. Man kann damit für jeden Ton einer Melodie einen passenden Dreiklang finden, der nur aus Tönen besteht, die auch zur jeweiligen Tonleiter gehören. Die Abstraktion mit römischen Ziffern stellt sicher, dass die Logik auf jede beliebige Tonleiter des Quinenzirkels übertragen werden kann.
Bereits 1722 fand der französische Komponist und Musiktheoretiker Jean-Philippe Rameau (1683-1764) aber heraus, dass zwei dieser Stufen, nämlich jene, die auf dem vierten und fünften Ton der Tonleiter aufbauen, eine magnetische Anziehungskraft besitzen. Der deutsche Musiktheoretiker Hugo Riemann (1849-1919) griff diese Idee 1893 auf und goss sie in ein System, das wir heute als Funktionstheorie kennen (und vielleicht noch irgendwie aus dem Musikunterricht erinnern). Riemann kam zu der Erkenntnis, dass Grundton, Quarte und Quinte innerhalb der Stufentheorie jeweils eine ganz besondere Aufgabe zukommt: Egal wie komplex eine Passage klingt, im Grunde erfüllen diese Stufen jeweils eine von drei logischen Funktionen, denen er die Begriffe Tonika, Subdominante und Dominante zuwies. Diese drei Akkorde ragen heraus, weil sie jeweils eine bestimmte psychologische Funktion erfüllen:
Der Tonika, der I. Stufe innerhalb der Stufentheorie, kommt die Funktion des Ruhepols oder auch der „Heimat“ zu
Die Subdominante, die IV. Stufe, erfüllt die Funktion des Aufbruchs, des Fortbewegens von der „Heimat“.
Die Dominante ist der Augenblick der maximalen Spannung: Die Geschichte hat sich am weitesten von ihrem Ausgangspunkt entfernt, die Dramatik ist an ihrem Höhepunkt angelangt. Es ist der Moment der Umkehr, der Drang, wieder nach Hause zurückkehren zu wollen.
Tatsächlich ist es so, dass Tonika, Subdominante und Dominante zusammen sämtliche Töne der jeweiligen Tonleiter beinhalten; den anderen Akkorden der Stufentheorie kommen daher lediglich Nebenfunktionen zu. Damit lassen sich sämtliche Melodien allein mit den drei Akkorden der Funktionstheorie harmonisch sinnvoll begleiten, denn jeder Melodieton der Tonleiter ist in einem der drei Akkorde enthalten. Das sehen wir sehr deutlich in den vergleichsweise einfachen Musikgenres wie Volksmusik, volkstümliche Musik, Pop und Rock: sie können grundsätzlich mit diesen drei Akkorden auskommen. Häufig findet sich in Rock und Pop zwischen den drei Dur-Dreiklängen noch die Tonika-Parallele, der Dreiklang, der auf der parallelen Moll-Tonart basiert, und der etwas Abwechslung, einen Hauch von Reibung und Melancholie in das jeweilige Stück bringt. Die Funktionstheorie beschreibt letztlich die Suchtformel der modernen Unterhaltungsmusikindustrie.
Die zentrale Bedeutung der Funktionstheorie zeigt sich übrigens auch im Quintenzirkel, den wir im ersten Teil besprochen haben und der sehr viel mehr ist, als nur eine Darstellung der Tonarten: Wandert man von einem beliebigen Ton gegen den Uhrzeigesinn nach links finden wir als nächstes stets die Subdominate (etwa C-F); folgt man dem Zirkel im Uhrzeigersinn findet man als nächsten Ton immer die Dominante (etwa C-G).
So weit, so einfach. Und sooooo langweilig. Stücke, die allein mit den passenden, in Terzen geschichteten Dreiklängen versehen werden, klingen hölzern, steif, kalt, belanglos. Sie wirken aber auch unruhig, weil mit den Akkordwechseln die relativ großen Quart- und Quintsprünge vollzogen werden. Musiker, Komponisten und Arrangeure arbeiten daher meist mit Umkehrungen der Dreiklänge. Nimmt man das C eine Oktave höher, wird aus C-E-G, der Akkord E-G-C; oktaviert man dann nochmal das E, wir daraus G-C-E. Alle drei Akkorde sind immer noch ein C-Dur Dreiklang, auch wenn das C nicht mehr der Grundton ist. Durch die Umkehrungen lassen sich Akkordwechsel innerhalb der gleichen Lage, also ohne große Sprünge bewerkstelligen; sie machen das Stück ruhiger und harmonischer.
Das andere Prinzip, das Spannung und Abwechslung in eine Komposition bringt, ist es den Dur- oder Mollakkorden weitere Töne hinzuzufügen, die mehr oder weniger dissonant sind. Eine sehr häufig anzutreffende Praxis ist es, die Dominante noch um eine kleine Septime zum Grundton zu ergänzen (Dominantseptakkord). Dadurch wird die durch die Dominante erzeugte Spannung noch weiter verstärkt.
Hier stoßen wir die Tür auf, die von den einfachen Grundlagen in die wirklich komplexe Welt der fortgeschrittenen Harmonielehre führt, ein Universum für sich, das sich im Rahmen dieser kleinen Einführung unmöglich darstellen lässt und in dem es vor lauter kryptischen Fachbegriffen wie neapolitanischer Sextakkord, Zwischendominanten oder kleiner Dominantnonenakkord nur so wimmelt.
Der Teufel in der Musik
Weil er historisch bedeutsam ist, soll nur noch ein besonderer Fall erwähnt werden: Der Tritonus. Formal gesehen ist er ein Intervall, das drei Ganztöne umspannt, also etwa vom f zum h:
In der Musik des Mittelalters galt die Verwendung des Tritonus als grober handwerklicher Fehler – im Barock erhielt er die Bezeichnung „Diabolus in Musica“ oder „Teufelsintervall“. Seine konsequente Vermeidung im Mittelalter hatte sowohl einen praktischen als auch einen musikästhetisch-theologischen Grund.
Der praktische Grund lag an der Tatsache, dass das Tritonus-Intervall ziemlich schwer zu singen ist; die Mönche sangen damals a cappella, das heißt ohne Begleitung durch Musikinstrumente; weil er so schwer ohne Hilfe zu intonieren war, war er gleichsam der Albtraum eines jeden mittelalterlichen Chorleiters.
Noch spannender aber ist der musikästhetisch-theologische Grund: Die mittelalterliche Theologie war stark durch die überlieferten antiken Vorstellungen geprägt. Und hier kehren wir erneut zu Pythagoras zurück, für den Musik Ausdruck und Spiegelbild der göttlichen Weltordnung war, verkörpert durch die einfachen mathematischen Verhältnisse von Oktave, Quinte und Quarte.
Der Tritonus aber zerteilt mit seinen sechs Halbtonschritten die Oktave genau in der Mitte und liegt damit sperrig zwischen der reinen Quarte und der noch reineren Quinte. In einem Schema göttlicher Harmonie, war dafür kein Platz – der Tritonus war im Wortsinne „aus der Ordnung gefallen“ und damit das Symbol für Chaos und Fehler (dass die Kirche den Tritonus im Mittelalter "verboten" habe, ist eine häufig angeführte, allerdings völlig falsche Behauptung).
Seitdem hat der Tritonus in der Musikgeschichte jedoch eine beachtliche Karriere absolviert. Er ist das Herzstück des Dominantseptakkords, der physikalisch-harmonische Grund, warum die Dominante überhaupt diesen enormen Vorwärtsdrang zur Tonika als Abschluss und Heimkehr besitzt: Durch sein Halbieren der Tonleiter schwebt er mystisch in der Mitte und kann daher weder einem Oben noch einem Unten zugeordnet werden.
Der Tritonus ist uns heute sehr vertraut, denn er ist mit der Zeit in allen Genres geradezu zum Popstar der Musik geworden. Wir finden ihn im Hexensabbat der Symphonie Fantastique vom Hector Berlioz oder bei der Metalband „Black Sabbath“ in ihrem gleichnamigen Song; der Tritonus ist die zentrale Klangfarbe in Blues und Jazz oder begegnet uns bei dem Eröffnungsmotiv von „The Simpsons“. Aus einem mittelalterlichen akustischen Intonationsproblem wurde nach und nach eines der mächtigsten Spannungswerkzeuge der modernen Musikgeschichte.
Wohltemperiertes Clavier und Pythagoreisches Komma
Einen letzten faszinierenden Aspekt wollen wir noch klären, ein Phänomen, für dessen Verständnis wir erneut alle Parameter, die die Harmonielehre ausmachen – Mathematik, Physik, Akustik, Evolutionsbiologie, Psychologie und Musikgeschichte – aufbieten müssen.
Dazu müssen wir noch einmal zu dem Quintenzirkel zurückkehren, der so etwas wie die Sternenkarte des Tonmaterials darstellt, die der westlichen Musik zur Verfügung steht. Stimmen wir ein Instrument exakt nach der pythagoreischen Logik – sie definiert die Quinte, wie wir inzwischen wissen, als das Verhältnis von 2:3 zum Grundton – erleben wir, wenn wir den gesamten Quintenzirkel einmal durchwandern, eine kleine aber nicht minder böse Überraschung. Springen wir im Uhrzeigersinn die Quinten nach oben hoch (C-G-D-A-E…) dann landen wir nach genau zwölf Schritten wieder bei einem C – allerdings diesmal sieben Oktaven höher.
Rechnet man diesen Weg jedoch direkt über die besagten sieben Oktaven kommt man zu einem anderen Ergebnis:
Der Weg über die 12 reinen Quinten (1,5 hoch12) ergibt den Faktor 129,74.
Der Weg über die 7 Oktaven (2 hoch 7) ergibt den Faktor 128.
Dabei müssten die beiden Töne eigentlich identisch sein; die Quinten-Stafette aber schießt über das Ziel hinaus! Diesen winzigen, im Ohr aber grausam quietschenden Unterschied nennt man das Pythagoreische Komma. Wenn man ein Tasteninstrument also so stimmte, dass eine Tonart (etwa C-Dur) absolut rein klang, dann waren andere Tonarten (wie As-Dur oder Fis-Dur) – auch für Laien hörbar – so furchtbar verstimmt, dass man sie schlicht nicht mehr spielen konnte. Man nannte diese unbrauchbaren Intervalle „Wolfsquinten“, weil sie heulten wie ein Wolf im Wald.
Mit der Entwicklung der Barockmusik wurde das Problem zunehmend drängender. Die Komponisten hatten immer höhere Ansprüche an das Zusammenspiel verschiedener Instrumente – die oft in verschiedenen Tönen gestimmt waren – und an Kompositionen, die auch Modulationen, das heißt Tonartenwechsel, innerhalb des Stücks vorsahen.
Die Lösung dieses Dilemmas verdanken wir dem deutschen Organisten und Musiktheoretiker Andreas Werckmeister (1645-1706). Der Ansatz war ein sehr pragmatischer: die gleichschwebende Temperierung. Wenn man das pythagoreische Komma nicht verschwinden lassen kann, dann ist es am besten, wenn man den Fehler gleichmäßig auf alle zwölf Halbtöne verteilt, so dass das menschliche Ohr es kaum wahrnehmen kann.
Mathematisch bedeutet dies die Oktave in zwölf exakt gleiche Frequenzverhältnisse aufzuteilen, wobei jeder Halbtonschritt dem Faktor der zwölften Wurzel aus zwei, also ungefähr 1,059463 entspricht. Der Preis, den man dafür zu zahlen hatte, war, dass mit Ausnahme der Oktave kein einziges Intervall im pythagoreisch-physikalischen Sinne mehr „rein“ war. Jede Quinte war nun einen Hauch zu tief, jede Terz ein winziges Stück zu hoch.
Dem gegenüber stand der Gewinn: es gab nun keine stimmigen und unstimmigen Tonarten mehr; die Musikstücke konnten zwischen den Tonarten springen und die immer größer werdenden Orchester harmonisierten trotz unterschiedlicher Instrumentenstimmungen wundervoll.
Um der Welt zu beweisen, dass die neue Stimmung eine Befreiung war, und kein erwähnenswerter Verstoß gegen philosophische Prinzipien, komponierte Johann Sebastian Bach (1685–1750) 1722 eine Sammlung von Präludien und Fugen, die durch alle 24 Dur- und Molltonarten wandert: „Das wohltemperierte Clavier“. Diese pragmatische Aufgabe eines mathematischen Prinzips, die Bach hier so eindrucksvoll demonstriert hatte, war ein Befreiungsschlag, der die abendländische Musik von nun an katalysieren sollte.
Wer mehr wissen will:
Thomas Krämer: Harmonielehre im Selbststudium, Breitkopf und Härtel, 2019
Jean-Philippe Rameau: Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels, Paris 1722.
Ashley Kahn: Kind of Blue: The Making of the Miles Davis Masterpiece, Da Capo Press 2000.
Arnold Schönberg: Stil und Gedanke, Gesammelte Schriften, Fischer Taschenbuch.
Arbones Javier; Milrud Pablo: Die Mathematik der Musik, Libero 2017
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