Das Ende eines Traums

Die reinste aller Wissenschaften

„Die Mathematik allein befriedigt den Geist durch ihre Gewissheit.“ Die Überzeugung, die in dem Zitat von Johannes Kepler zum Ausdruck kommt, prägte das Selbstverständnis der Mathematiker seit der Antike. Keine andere Wissenschaft versprach Erkenntnisse von vergleichbarer Sicherheit. Als im 19. Jahrhundert die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie diesen Glauben auf einmal ins Wanken brachte, gelang es rasch, für die neue Raumlehre eine eigene Axiomatik aufzustellen und den festen Boden zurückzugewinnen.

Davon inspiriert unternahm der deutsche Mathematiker David Hilbert (1862-1943) in den 1920er Jahren den Versuch, die gesamte Mathematik auf die Basis vollständiger und widerspruchsfreier Axiome zu stellen und so Keplers „außerordentliche Gewissheit“ lückenlos logisch abzusichern. Hilberts Vision implizierte auch, dass es mit diesem Fundament grundsätzlich immer möglich sein musste, die Richtigkeit jedes mathematischen Theorems zu beweisen – wenn auch die Beweisführung im Einzelfall sehr schwierig sein kann.

Ambitionierter Formalisierer: David Hilbert

Die Mechanik der Mathematik

Hilberts Programm war mehr als ein technisches Projekt. Es war ein philosophisches Manifest, getragen von der Überzeugung, dass die Mathematik eine in sich geschlossene Welt absoluter Klarheit darstellen könne. In dieser Welt sollte jeder wahre Satz – zumindest prinzipiell – beweisbar sein, und jeder Beweis sollte sich auf endlich viele, mechanisch überprüfbare Schritte reduzieren lassen. Die Mathematik, so die Hoffnung, ließe sich gleichsam industrialisieren: Wahrheit als Ergebnis eines formalisierten Verfahrens. Diese Vision passte zum Zeitgeist einer Epoche, die an Fortschritt, Ordnung und Rationalisierung glaubte.

Man darf nicht unterschätzen, wie revolutionär diese Idee war. Jahrtausendelang hatten Mathematiker Beweise als kreative geistige Akte verstanden. Hilbert hingegen dachte an eine Art universelle Beweis-Maschine – eine Vision, die nicht auf die Erfindung eines neuen formalen Systems zielte, denn solche Systeme waren längst etabliert. Seine kühne Hoffnung ging weiter: Die gesamte Mathematik sollte sich auf ein vollständig mechanisierbares Fundament zurückführen lassen.

Gödels Unvollständigkeitssätze: Das Ende eines Traumes:

Die Ernüchterung folgte 1931: Der junge österreichische Mathematiker Kurt Gödel (1906-1978) bewies, dass Hilberts Traum nie Realität werden kann. Die Mathematik kann niemals in einem einzigen, abgeschlossenen Regelwerk aufgehen. Er zeigte: Sobald ein System komplex genug ist, um die Welt der natürlichen Zahlen abzubilden, entstehen zwangsläufig Aussagen, die innerhalb dieses Systems weder bewiesen noch widerlegt werden können. Mehr noch: Gödel wies nach, dass ein solches System auch seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht mit seinen eigenen Mitteln belegen kann. Wer beweisen will, dass die Regeln eines Systems nicht zu Widersprüchen führen, muss zwangsläufig auf ein noch stärkeres System zurückgreifen[i]  So wie ein Gehirn sich damit schwer tut, seine eigene Funktionsweise lückenlos zu begreifen, kann auch die Mathematik ihre eigene Fehlerfreiheit niemals allein mit ihren eigenen "Bordmitteln" belegen. Dies hat nichts mit dem Unvermögen der Akteure zu tun, es ist vielmehr grundsätzlich nicht möglich: Um ein System vollständig zu beschreiben, muss man es von außen betrachten können.

Gödels Unvollständigkeitssätze stürzte die Mathematik in eine Identitätskrise, vergleichbar jener Verwirrung, die die Pythagoreer bei der Entdeckung irrationaler Zahlen überkam. Seitdem müssen Mathematiker mit der Erkenntnis leben, dass ihre Denksprache – die vermeintlich reinste aller Wissenschaften – nicht gleichzeitig vollständig und widerspruchsfrei sein kann.

Was Gödel gelang, war ein intellektueller Kunstgriff von verblüffender Eleganz. Vereinfacht gesprochen konstruierte er eine mathematische Aussage, die sinngemäß behauptet: „Dieser Satz ist nicht beweisbar.“ Ein logisches Spiegelkabinett. Wäre der Satz beweisbar, wäre er falsch. Wäre er nicht beweisbar, wäre er wahr. Damit zeigte Gödel, dass jedes hinreichend mächtige formale System zwangsläufig Aussagen enthält, die sich innerhalb seiner eigenen Regeln nicht einfangen lassen. Dies ist keine Schwäche einzelner Axiome, sondern eine strukturelle Eigenschaft der Mathematik selbst.

Kurt Gödel als Student 1925

Die Tragweite dieser Erkenntnis reicht weit über die Mathematik hinaus. Sie berührt die Grundfrage, was Wissen überhaupt bedeutet. Wenn selbst die strengste aller Wissenschaften an prinzipielle Grenzen stößt, was heißt das für andere Disziplinen? Für die Philosophie, die Physik, die Informatik? Gödel zerstörte nicht die Mathematik – er entzauberte eine bestimmte Vorstellung von Gewissheit.

Gödels Arbeit fiel in eine Zeit tiefgreifender Umbrüche. Die klassische Physik wurde durch die Quantenmechanik erschüttert, Raum und Zeit durch Einsteins Theorie relativiert. In nahezu allen Bereichen der Wissenschaft bröckelte die Idee einer vollständig berechenbaren Welt. Gödel lieferte das mathematische Pendant zu dieser geistigen Zeitenwende. 

Glaube und Wissen

Dass die Mathematik letztlich auf unbeweisbaren Voraussetzungen, und somit gleichsam auf tönernen Füssen steht, liegt in der Natur der Axiome selbst. Sie sind Sätze, die wir an den Anfang stellen, ohne sie selbst zu beweisen – schlicht, weil jeder Beweis irgendwo beginnen muss. Davon ausgehend werden schrittweise höhere Wahrheiten konstruiert. Doch am Anfang des gesamten Systems steht eine Setzung, eine Art „Glaube“. Dieser „Glaube“ ist freilich kein blinder Akt, sondern eine methodische Entscheidung. Axiome sind bewusst gewählte Startpunkte. Sie definieren die Spielregeln einer abstrakten Welt. Unterschiedliche Axiomensysteme erzeugen unterschiedliche mathematische Universen – euklidische und nichteuklidische Geometrien sind nur das bekannteste Beispiel. Mathematik ist daher weniger eine Entdeckung absoluter Wahrheiten als die Exploration logisch konsistenter Möglichkeiten.

Und gerade darin liegt ihre Stärke. Die Mathematik ist nicht deshalb erfolgreich, weil sie unerschütterlich ist, sondern weil sie flexibel bleibt. Sie kann ihre Grundlagen variieren, Strukturen vergleichen, Grenzen untersuchen. Gödels Resultat ist somit kein Scheitern, sondern eine präzise Kartierung dieser Grenzen.

Ein Akt der Befreiung

Gödels Nachweis der Unvollständigkeit ist kein Grund zum Bedauern, sondern im Gegenteil: eine Befreiung. Er bewahrt uns vor der Vorstellung, die Mathematik sei ein abgeschlossenes, totes Archiv des Wissens. Stattdessen wissen wir nun, dass es hinter jedem Horizont neue, unentdeckte Wahrheiten geben kann. Die Zwangsjacke einer „fertigen“ Weltformel bleibt uns erspart.

Diese Offenheit macht die Mathematik zum idealen Werkzeug für die Naturwissenschaften. Wo die menschliche Sprache oft vage bleibt, erlaubt uns die Mathematik, die Welt mit höchster Präzision zu beschreiben – auch wenn sie uns keine letzte, absolute Gewissheit über das gesamte Fundament schenken kann. Diesen Vorteil spielt sie am eindrucksvollsten in jener Disziplin aus, die sich der Erforschung der Natur verschrieben hat: der Physik (vom griechischen physikḗ = Natur).

Vielleicht ist genau dies die tiefere Einsicht der Unvollständigkeitssätze: Erkenntnis ist kein abgeschlossener Besitz, sondern ein offener Prozess. Jede Antwort erzeugt neue Fragen. Gewissheit existiert – aber niemals grenzenlos. Und gerade deshalb bleibt Wissenschaft lebendig.

Die größte Entdeckung der Mathematik war keine neue Formel, sondern die Einsicht, dass Erkenntnis gerade an ihren Grenzen weiterwächst.

Mit diesem Beitrag endet die Artikelserie zum Themenbereich Mathematik

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Wer mehr wissen will:

Beutelspacher, Albrecht (2010): „Kleines Mathematikum“, C.H. Beck.

Hofstadter, Douglas (2018) „Gödel, Escher, Bach“, Klett-Cotta.

Rauchhaupt, Ulf von (2006): „Der Herr Professor und die Wahrheit“ in: Frankfurter Allgemeine Zeitung Online vom 23.04.2006. 

Fußnoten

[i] Vgl Rauchhaupt.

[ii] Vgl. Beutelspacher S. 150-153.